Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．

（1）求拋物線頂點A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀；
（3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵頂點A的橫坐標(biāo)為x=﹣ =1，且頂點A在y=x﹣5上，

∴當(dāng)x=1時，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）．

（2）解：△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

當(dāng)y=0時，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，

BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）解：存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點E（0，﹣5），交x軸于點F（5，0）

∴OE=OF=5，

又∵OB=OD=3

∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，

過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G．

設(shè)P（x1，x1﹣5），則G（1，x1﹣5）

則PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4

∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），

存在點P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】（2）方法二：把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=﹣3，

∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），

∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），

KBD= =1，KAB= =﹣1，

∴KBDKAB=﹣1，

∴AB⊥BD，即△ABD為直角三角形．

【考點精析】利用平行線的判定和等腰三角形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．