Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)E在CD上，DE=1，點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，則AF的值是________.

Answer 1

【答案】0或1＜AF＜ 或4

【解析】

學(xué)習(xí)了圓周角的推論: 直徑所對(duì)的圓周角是直角, 可提供解題思路, 可以以EF為直徑作圓, 以邊界值去討論該圓與矩形ABCD交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：以EF為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P是以EF為直徑的圓與矩形邊的交點(diǎn), 取EF的中點(diǎn)O,

(1) 如圖1, 當(dāng)圓O與AD相切于點(diǎn)G時(shí), 連結(jié)OG, 此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合,只有一個(gè)點(diǎn), 此時(shí)AF=OG=DE=1;

(2) 如圖2,

當(dāng)圓O與BC相切于點(diǎn)G, 連結(jié)OG,EG, FG, 此時(shí)有三個(gè)點(diǎn)P可以構(gòu)成Rt△EFP,

OG是圓O的切線,OG⊥BC

OG∥AB∥CD

OE=OF,

BG=CG,OG=(BF+CE),

設(shè)AF=x, 則BF=4-x, OG= (4-x+4-1)= (7-x)

則EF=20G=7-x, EG=EC+CG=9+1=10,FG=BG+BF=1+(4-x)，

在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF=EG+FG ,

得(7-x)=10+1+(4-x)2,解得x=，

所以當(dāng)1<AF<時(shí),以EF為直徑的圓與矩形ABCD的交點(diǎn) (除了點(diǎn)E和F) 只有兩個(gè);

(3)因?yàn)辄c(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn):

當(dāng)點(diǎn)F與A點(diǎn)重合時(shí), AF=4, 此時(shí)Rt△EFP正好有兩個(gè)符合題意;

故答案為0或1＜AF＜ 或4.