Question

已知拋物線．
【小題1】求拋物線頂點M的坐標；
【小題2】若拋物線與x軸的交點分別為點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
【小題3】在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】∵拋物線∴頂點M的坐標為．
【小題2】拋物線與與x軸的兩交點為A(-1,0) ，B（2，0）．
設(shè)線段BM所在直線的解析式為．
∴解得 ∴線段BM所在直線的解析式為．  
設(shè)點N的坐標為．∵點N在線段BM上，∴. ∴．
∴S_{四邊形NQAC}＝S_△AOC＋S_梯形OQNC．
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為，自變量t的取值范圍為．
【小題3】假設(shè)存在符合條件的點P，設(shè)點P的坐標為P（m，n），則且．
，，．
分以下幾種情況討論：
①若∠PAC＝90°，則．∴
解得，．∵．∴．∴．         
②若∠PCA＝90°，則．∴
解得，．∵，∴．∴．
當點P在對稱軸右側(cè)時，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．
∴存在符合條件的點P，且坐標為，．

解析