Question

（2005•廣州）如圖，已知正方形ABCD的面積為S．
（1）求作：四邊形A₁B₁C₁D₁，使得點(diǎn)A₁和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，點(diǎn)B₁和點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，點(diǎn)C₁和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，點(diǎn)D₁和點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱；（只要求畫出圖形，不要求寫作法）
（2）用S表示（1）中作出的四邊形A₁B₁C₁D₁的面積S₁；
（3）若將已知條件中的正方形改為任意四邊形，面積仍為S，并按（1）的要求作出一個(gè)新的四個(gè)邊形，面積為S₂，則S₁與S₂是否相等，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知．使得點(diǎn)A₁和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，即是連接AB并延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，其它三點(diǎn)同樣的方法找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接．
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的比值，利用面積比等于相似比，來(lái)求小正方形的面積．
（3）相等．因?yàn)橐粋�(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式，等底等高的三角形面積相等．
解答：解：（1）如圖①所示．

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
則AA₁=2a，S_△AA1D1=•AA₁•AD₁=a²，
同理，S_△BB1A1=S_△CC1B1=S_△DD1C1=a²，
∴S₁=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{正方形ABCD}=5a²=5S．
（本問也可以先證明四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，再求出其邊長(zhǎng)為a，從而算出S_{四邊形A1B1C1D1}=5S）

（3）S₁=S₂
理由如下：
首先畫出圖形②，連接BD、BD₁，
∵△BDD₁中，AB是中線，
∴S_△ABD1=S_△ABD．
又∵△AA₁D₁中，BD₁是中線，
∴S_△ABD1=S_△A1BD1
∴S_△AA1D1=2S_△ABD
同理，得S_△CC1B1=2S_△CBD
∴S_△AA1D1+S_△CC1B1=2（S_△ABD+S_△CBD）=2S．
同理，得S_△BA1B1+S_△DD1C1=2S，
∴S₂=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{四邊形ABCD}=5S．
由（2）得，S₁=5S．
∴S₁=S₂．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題，綜合了軸對(duì)稱，正方形的面積，及四邊形，三角形的面積，所以我們學(xué)生學(xué)知識(shí)一定不要機(jī)械的學(xué)，要會(huì)聯(lián)系起來(lái)．