Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1個單位/秒的速度在y軸上向下運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向右運(yùn)動，過點(diǎn)P作PD⊥y軸，交OB于D，連接DQ．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，兩動點(diǎn)均停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

（1）當(dāng)t=1時，求線段DP的長；
（2）連接CD，設(shè)△CDQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出S的最大值；
（3）運(yùn)動過程中是否存在某一時刻，使△ODQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，

當(dāng)t=1時，AP=1，則OP=3，

∵PD⊥y軸，AB⊥y軸，

∴PD∥AB，

∴ ，

∴ = ，

∴DP=

（2）

解：如圖2，

∵運(yùn)動的時間為t秒，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向右運(yùn)動，

∴CQ=2t，

∴AP=t，OP=4﹣t，

作DE⊥CO于點(diǎn)E，則DE=OP=4﹣t，

∴S= ×CQ×DE= ×2t×（4﹣t）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

當(dāng)t=2時，S最大值=4

（3）

解：如圖3，分兩種情況討論：

①當(dāng)0≤t＜3時，點(diǎn)Q在CO上運(yùn)動（當(dāng)t=3時，△ODQ不存在），

∵AB∥CO，

∴∠BOC=∠ABO＜∠ABC，

可證得BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA，

∵AB∥CO，

∴∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC，

∴當(dāng)0≤t≤3時，△ODQ與△ABC不可能相似；

②當(dāng)3＜t≤4時，點(diǎn)Q在x軸正半軸上運(yùn)動，

延長AB，

∵AB∥CO，

∴∠FBC=∠BCO=∠BOC，

∴∠ABC=∠DOQ OQ=2t﹣6，

由DP∥AB可得OD= ，

當(dāng) 時， = ，t= ；

當(dāng) 時， = ，t= ；

∴存在t= 和t= ，使△ODQ與△ABC相似．

【解析】（1）先由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）得出OA=4，AB=3，CO=6，再根據(jù)當(dāng)t=1時，AP=1，則OP=3，再證出 ，最后代入計算即可，（2）先作DE⊥CO于點(diǎn)E，根據(jù)DE=OP=4﹣t得出S= ×CQ×DE=﹣t2+4t，從而求出當(dāng)t=2時，S有最大值，（3）分兩種情況討論：①當(dāng)0≤t＜3時，點(diǎn)Q在CO上運(yùn)動，根據(jù)AB∥CO得出∠BOC=∠ABO＜∠ABC，證得BO=BC從而得出∠BOC=∠BCO＞∠BCA，根據(jù)AB∥CO得出∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC從而證出當(dāng)0≤t≤3時，△ODQ與△ABC不可能相似；②當(dāng)3＜t≤4時，點(diǎn)Q在x軸正半軸上運(yùn)動，延長AB，根據(jù)AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ，OQ=2t﹣6，再由DP∥AB可得OD= ，最后根據(jù) 和 時，分別進(jìn)行計算，求出t的值，即可得出答案．