Question

下列命題中，其中正確的命題個(gè)數(shù)有（　�。�
（1）在△ABC中，已知AB=6，AC=2

6

，∠B=45°，則∠C的度數(shù)為60°；
（2）已知⊙O的半徑為5，圓心O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點(diǎn)有3個(gè)；
（3）圓心角是180°的扇形是一個(gè)半圓；
（4）已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若AB=1，則AP=

5 -1

2

．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：（1）作出圖形，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，然后求出AD的長(zhǎng)度，再在Rt△ACD中，利用銳角的正弦值求出∠C的度數(shù)即可；
（2）作出圖形，根據(jù)圓的半徑為5，圓心到AB的距離為3作出到直線AB的距離為2的直線，與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為所求；
（3）根據(jù)半圓的圓心角等于180°解答；
（4）因?yàn)锳P是較長(zhǎng)的線段還是較短的線段不明確，所以分兩種情況討論求解．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵AB=6，∠B=45°，
∴AD=ABsin45°=6×

2

2

=3

2

，
又∵AC=2

6

，
∴sin∠C=

AD

AC

=

3 2

2 6

=

3

2

，
∴∠C=60°，故本小題正確；
（2）如圖所示，到直線AB的距離為2的點(diǎn)有3個(gè)，故本小題正確；
（3）∵半圓的圓心角為180°，
∴圓心角是180°的扇形是一個(gè)半圓加一條直徑，
故本小題錯(cuò)誤；
（4）①若AP是較長(zhǎng)線段，則AP²=AB•BP，
即AP²=1×（1-AP），
AP²+AP-1=0，
解得AP=

5 -1

2

，
②若AP是較短的線段，則
AP=1-

5 -1

2

=

3- 5

2

，
故本小題錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的命題有（1）（2）共2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，解直角三角形，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解比較關(guān)鍵．