Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，.且（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是 ；

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)，以及的最小值. (提示：連結(jié):，)

Answer 1

【答案】（1），，；（2），.

【解析】

（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD，由點(diǎn)B（-1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，-1）；過(guò)N作NH⊥BD于h，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠NBH=60°，BM=BN，求得NH=BN=t，于是得到結(jié)論；
（2）如圖所示，連接MN，過(guò)E作EH⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BM=BN，∠NBM=60°，求得△BMN是等邊三角形，求得MN=BM，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE=BA，∠ABE=60°，求得∠ABM=∠EBN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=EN，求得AM+BM+CM=EN+MN+CM，當(dāng)E，N，M，C在同一直線上時(shí)，AM+BM+CN的最小值是CE的長(zhǎng)，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解：（1）如圖1，以直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

∵四邊形是正方形

∴

∵點(diǎn)，

∴，

過(guò)作于

∴

∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴

∴

∵

∴點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是

故答案為：，，

（2）如圖所示，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，

由旋轉(zhuǎn)可得，，，

∴是等邊三角形，

∴

∵是等邊三角形

∴

∴

∴≌（）

∴

∴

∴當(dāng)，，，在同一直線上時(shí)，的最小值是的長(zhǎng)，

又∵，

∴

∴中，

∴

∴

∴中，

∴的最小值為