(2013•孝南區(qū)一模)已知,如圖所示,AB為⊙O的直徑,AB=AC,BC交⊙O于點(diǎn)D,AC交于⊙O于點(diǎn)E,∠BAC=45°,給出以下四個結(jié)論:
①BD=CD;②∠EBC=22.5°;③AE=2EC;④
AE
=2
DE
AE
DE
為劣。
其中正確結(jié)論有( 。
分析:①首先連接AD,易得AD⊥BC,又由三線合一的性質(zhì),可證得BD=CD;
②由等腰三角形的性質(zhì),可求得∠ABC的度數(shù),又由圓周角定理,可求得∠ABE的度數(shù),繼而求得∠EBC的度數(shù);
③在AE上截取EF=EC,連接BF,易得BF是△ABE的角平分線,繼而可得AE≠2EC;
④由圓周角定理,分別求得∠EOD與∠AOE的度數(shù),即可得
AE
=2
DE
解答:解:①連接AD,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD;故正確;
②∵∠BAC=45°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=67.5°,
∵∠ABE=90°-∠BAC=45°,
∴∠EBC=22.5°;故正確;
③在AE上截取EF=EC,連接BF,
∵BE⊥AC,
∴BC=BF,
∴∠EBF=∠EBC=22.5°,
∴∠ABF=∠EBF=22.5°,
∵AB>BE,
∴AF≠EF,
∴AE≠2EC,故錯誤;
④∵∠EOD=2∠CAD=45°,∠AOE=2∠ABE=90°,
AE
=2
DE
,故正確.
故選B.
點(diǎn)評:此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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1
2
m3-2m=
1
2
m(m+2)(m-2)
1
2
m(m+2)(m-2)

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