Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線（、為常數(shù)）的頂點為，等腰直角三角形的頂點的坐標為，的坐標為，直角頂點在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線經(jīng)過、兩點，求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點在直線上滑動，且與交于另一點．

①若點在直線下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以、、三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點的坐標；

②取的中點，連接，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，，，；②的最大值為．

【解析】

（1）先求出點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；

（2）①首先求出直線的解析式和線段的長度，作為后續(xù)計算的基礎．

若為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

當為直角邊時：點到的距離為．此時，將直線向右平移4個單位后所得直線與拋物線的交點，即為所求之點；

當為斜邊時：點到的距離為．此時，將直線向右平移2個單位后所得直線與拋物線的交點，即為所求之點．

②由①可知，為定值，因此當取最小值時，有最大值．

如答圖2所示，作點關于直線的對稱點，由分析可知，當、、中點）三點共線時，最小，最小值為線段的長度．

解：（1）等腰直角三角形的頂點的坐標為，的坐標為

點的坐標為．

拋物線過，兩點，

，

解得：，，

拋物線的函數(shù)表達式為：．

（2）①，，，

直線的解析式為：．

設平移前拋物線的頂點為，則由（1）可得的坐標為，且在直線上．

點在直線上滑動，

可設的坐標為，

則平移后拋物線的函數(shù)表達式為：．

解方程組：，

解得，

，．

過點作軸，過點作軸，則

，．

．

若以、、三點為頂點的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

當為直角邊時：點到的距離為（即為的長）．

由，，可知，

為等腰直角三角形，且，．

如圖1，過點作直線，交拋物線于點，則為符合條件的點．

可設直線的解析式為：，

，

，

解得，

直線的解析式為：．

解方程組，

得：，

，．

當為斜邊時：，可求得點到的距離為．

如答圖2，取的中點，則點的坐標為．

由，，可知：

為等腰直角三角形，且點到直線的距離為．

過點作直線，交拋物線于點，則為符合條件的點．

可設直線的解析式為：，

，

，

解得，

直線的解析式為：．

解方程組，

得：，

，，，．

綜上所述，所有符合條件的點的坐標為：

，，，，，．

②存在最大值．理由如下：

由①知為定值，則當取最小值時，有最大值．

如答圖2，取點關于的對稱點，易得點的坐標為，．

連接，，，

易得，且，

四邊形為平行四邊形．

．

．

當、、三點共線時，最小，最小值為．

的最大值為．