【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點(diǎn),連接DF,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.
(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn),求△PDC周長(zhǎng)的最小值.
【答案】(1)結(jié)論:CF=2DG,理由見(jiàn)解析;(2)△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2.
【解析】
(1)結(jié)論:CF=2DG.只要證明△DEG∽△CDF即可;
(2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
(1)結(jié)論:CF=2DG.
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
∴AD=CD=2DE,
∵EG⊥DF,
∴∠DHG=90°,
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,
∴∠CDF=∠DEG,
∴△DEG∽△CDF,
∴==,
∴CF=2DG.
(2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,
此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
由題意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,
∴EH=2DH=2,
∴HM==2,
∴DM=CN=NK==1,
在Rt△DCK中,DK===2,
∴△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)、是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)、.
求點(diǎn)的坐標(biāo);
求一次函數(shù)的表達(dá)式;
根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,OA=OB,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),AB=,線段OB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與O、B重合),連接AC,作AC⊥CD,作DE⊥x軸,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:△ACO≌△CDE;
(2)猜想△BDE的形狀,并證明結(jié)論:
(3)如圖2,當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠MON=90°,已知△ABC中,AC=BC=AB=6,△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在OM上運(yùn)動(dòng),△ABC的形狀始終保持不變,在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離為整數(shù)的點(diǎn)有( )個(gè).
A.5B.6C.7D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形方格紙中,我們把頂點(diǎn)都在“格點(diǎn)”上的三角形稱為“格點(diǎn)三角形“,如圖,△ABC是一個(gè)格點(diǎn)三角形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,2).
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,△ABC的面積為 ;
(2)在所給的方格紙中,請(qǐng)你以原點(diǎn)O為位似中心,將△ABC放大為原來(lái)的2倍,放大后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1,點(diǎn)B1在第一象限;
(3)在(2)中,若P(a,b)為線段AC上的任一點(diǎn),則放大后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)F是ABCD的邊AD上的三等分點(diǎn),BF交AC于點(diǎn)E,如果△AEF的面積為2,那么四邊形CDFE的面積等于( )
A. 18 B. 22 C. 24 D. 46
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在斜邊AB上,點(diǎn)E在直角邊BC上,若∠CDE=45°,求證:△ACD∽△BDE.
(2)如圖2所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=10cm,點(diǎn)E在BC上,連接AE,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交CD(或CD的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)F.
①若BE:EC=1:9,求CF的長(zhǎng);
②若點(diǎn)F恰好與點(diǎn)D重合,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形,并求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,將△ABC翻折使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕與邊AC交于點(diǎn)P,如果AP=4,那么AC的長(zhǎng)為_______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,tan∠ACB=2,D在△ABC內(nèi)部,且AD=CD,∠ADC=90°,連接BD,若△BCD的面積為10,則AD的長(zhǎng)為_____.
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