Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)交AD、BC于點(diǎn)E、F，AC與EF交于點(diǎn)O，連結(jié)AF、CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分線(xiàn)，

∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，

在△AEO和△CFO中， ，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

又∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE是菱形

（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=CF，

設(shè)AF=CF=x，則BF=4﹣x，

在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，

即x2=32+（4﹣x）2，

解得 x= ，

∴菱形AFCE的邊長(zhǎng)為

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，證明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對(duì)角線(xiàn)AC⊥EF，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AF=CF=x，則BF=4﹣x，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．