Question

【題目】如圖，O為Rt△ABC斜邊中點，AB=10，BC=6，M、N在AC邊上，若△OMN∽△BOC，點M的對應點是O，則CM=______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據直角三角形斜邊中線的性質可得OC=OA=OB=AB，根據等腰三角形的性質可得∠A=∠OCA，∠OCB=∠B，由相似三角形的性質可得∠ONC=∠OCB，，可得OM=MN，利用等量代換可得∠ONC=∠B，即可證明△CNO∽△ABC，利用外角性質可得∠ACO=∠MOC，可得OM=CM，即可證明CM=CN，利用勾股定理可求出AC的長，根據相似三角形的性質即可求出CN的長，即可求出CM的長.

∵O為Rt△ABC斜邊中點，AB=10，BC=6，

∴OC=OA=OB=AB=5，AC==8，

∴∠A=∠OCA，∠OCB=∠B，

∵△OMN∽△BOC，

∴∠ONC=∠OCB，，∠COB=∠OMN，

∴MN=OM，∠ONC=∠B，

∴△CNO∽△ABC，

∴，即，

解得：CN=，

∵∠OMN=∠OCM+∠MOC，∠COB=∠A+∠OCA，

∴∠OCM=∠MOC，

∴OM=CM，

∴CM=MN=CN=.

故答案為：