Question

在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF（如圖1）
（1）在圖1中畫圖探究：
①當(dāng)P₁為射線CD上任意一點(diǎn)（P₁不與C重合）時(shí)，連接EP₁；繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG₁．判斷直線FG₁與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；
②當(dāng)P₂為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連接EP₂，將線段EP₂繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG₂．判斷直線G₁G₂與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論．
（2）若AD=6，tanB=

4

3

，AE=1，在①的條件下，設(shè)CP₁=x，S_△P1FG1=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①直線FG₁與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直，理由為：△P₁EC按要求旋轉(zhuǎn)后得到的△G₁EF全等，再結(jié)合∠P₁CE=∠G₁FE=90°去說(shuō)明；②按題目要求所畫圖形見(jiàn)圖1，直線G₁G₂與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P₁在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合已知說(shuō)明CE=4，且由四邊形FEHC是正方形，得CH=CE=4，再根據(jù)題設(shè)可得G₁F=x．P₁H=x-4，進(jìn)而可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)P₁在線段CH上時(shí)，同理可得FG₁=x，P₁H=4-x，進(jìn)而可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；③當(dāng)點(diǎn)P₁與點(diǎn)H重合時(shí)，說(shuō)明△P₁FG₁不存在，再作綜合說(shuō)明即可．

解答：解：（1）①直線FG₁與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直．
證明：如圖1，設(shè)直線FG₁與直線CD的交點(diǎn)為H．
∵線段EC、EP₁分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC．
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC．
∴△G₁EF≌△P₁EC．
∴∠G₁FE=∠P₁CE．
∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90度．
∴∠EFH=90度．
∴∠FHC=90度．
∴FG₁⊥CD．
②按題目要求所畫圖形見(jiàn)圖1，直線G₁G₂與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC．
∵AD=6，AE=1，tanB=

4

3

，
∴DE=5，tan∠EDC=tanB=

4

3

．
可得CE=4．
由（1）可得四邊形EFHC為正方形．
∴CH=CE=4．
①如圖2，當(dāng)P₁點(diǎn)在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=x-4，
∴S_△P1FG1=

1

2

×FG₁×P₁H=

x(x-4)

2

．
∴y=

1

2

x²-2x（x＞4）．
②如圖3，當(dāng)P₁點(diǎn)在線段CH上（不與C、H兩點(diǎn)重合）時(shí)，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=4-x，
∴S_△P1FG1=

1

2

×FG₁×P₁H=

x(4-x)

2

．
∴y=-

1

2

x²+2x（0＜x＜4）．
③當(dāng)P₁點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即x=4時(shí)，△P₁FG₁不存在．
綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是y=

1

2

x²-2x（x＞4）或y=-

1

2

x²+2x（0＜x＜4）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)解、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究垂直的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．