Question

（2012•棗陽市模擬）已知如圖，矩形OABC的長OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△AFC．
（1）求過A、F、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，若以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P以每秒

2

3

3

個(gè)單位長度的速度從C點(diǎn)出發(fā)沿CB 向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以每秒

3

個(gè)單位長度的速度沿射線AO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）為何值時(shí)，以P、C、O為頂點(diǎn)的三角形與以Q、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的邊長求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
（2）首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后分當(dāng)DN∥EM且DN=EM時(shí)和當(dāng)M在E點(diǎn)右側(cè)時(shí)求得M、N的坐標(biāo)即可；
（3）若以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，則有CQ=OP或OC²=CQ•OP．然后分當(dāng)P、Q在y軸同側(cè)時(shí)和當(dāng)P、Q在y軸異側(cè)時(shí)利用相似三角形的性質(zhì)列出有關(guān)t的方程求解即可．

解答：解：（1）∵OA=

3

，OC=1，
∴tan∠OAC=

3

3

．
∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°…（1分）
過F作FM⊥OA于M，交CB于G，則FG⊥CD．
∠GCF=30°，GF=

1

2

CF=

1

2

OC=

1

2

．
CG=

3

2

．
∴F（

3

2

，

3

2

）…（2分）
設(shè)過 A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式為y=ax²+bx+c．
∴c=1
∴

3 4 a+ 3 2 b= 1 2 3a+ 3 b=-1.

…（3分）
解之，得

a=- 4 3 b= 3

∴y=-

4

3

x2+

3

x+1．…（4分）

（2）∵由-

4

3

x2+

3

x+1=0，得x₁=

3

，x₂=-

3

4

．
∴E（-

3

4

，0）…（5分）
由-

4

3

x2+

3

x+1=1，得x₁=0，x₂=

3

4

3

．
∴D（

3

4

3

，1）．…（6分）
①當(dāng)DN∥EM且DN=EM時(shí)，當(dāng)M在E點(diǎn)左側(cè)時(shí)，M₁（-

3

，0），此時(shí)N₁（0，1）…（7分）
當(dāng)M在E點(diǎn)右側(cè)時(shí)，OM₂=

3

2

．
∴M₂（

3

2

，0），此時(shí)N₂（0，1）…（8分）
②當(dāng)ED∥MN且ED=MN時(shí)，過D作DH⊥OA于H，M₃（

3

，0），N₃（0，-1）…（9分）

（3）若以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，則有
CQ=OP或OC²=CQ•OP．
當(dāng)P、Q在y軸同側(cè)時(shí)：
由

2 3

3

t=

3

-

3

t，得t=

3

5

．…（10分）
由

2 3

3

t(

3

-

3

t)=1，得  2t²-2t+1=0．
△=4-8=-4＜0，故無解．
當(dāng)P、Q在y軸異側(cè)時(shí)：
由

2 3

3

t=

3

t-

3

，得t=3＞

3

2

，不合題意，舍去…（11分）
由

2 3

3

t(

3

t-

3

)=1，得2t²-2t-1=0.t1=

1- 3

2

＜0舍去，
t2=

1+ 3

2

∴t=

3

5

或

1+ 3

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，往往是中考題的壓軸題，難度相對(duì)比較大．解決此類問題時(shí)充分考慮各種情況是解決此類題目的關(guān)鍵．