Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過(guò)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG．
（1）設(shè)AE=x時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）①E、A重合時(shí)，三角形EFG的底和高都等于正方形的邊長(zhǎng)，由此可得到其面積；
②E、A不重合時(shí)；易證得△AEM≌△FDM，則EM=FM，由勾股定理易求得EM的長(zhǎng)，即可得出EF的長(zhǎng)；下面求MG的長(zhǎng)，過(guò)M作MN⊥BC于N，則AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMG同為∠EMN的余角，由此可證得△AEM∽△NGM，根據(jù)相似三角形得到的關(guān)于AM、MN、EM、MG的比例關(guān)系式，即可求得MG的表達(dá)式，進(jìn)而可由三角形的面積公式求出y、x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可分別作出E、A重合和E、B重合時(shí)P點(diǎn)的位置（即P為A與E重合時(shí)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，P′為E與B重合時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），此時(shí)可發(fā)現(xiàn)PP′正好是△EGG′的中位線，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易證得∠MBG=∠GMG′，根據(jù)∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的邊長(zhǎng)）的比例關(guān)系，由此得解．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0，y=

1

2

×2×2=2
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
在△AME和△DMF中

∠A=∠MDF AM=DM ∠AME=∠DMF

，
∴△AME≌△DMF（ASA）
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=

x2+1

∴EF=2ME=2

x2+1

過(guò)M作MN⊥BC，垂足為N（如圖）
則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽R(shí)t△NMG
∴

AM

NM

=

ME

MG

，即

ME

MG

=

1

2

∴MG=2ME=2

x2+1

∴y=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

x2+1

×2

x2+1

=2x²+2
∴y=2x²+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如圖，PP′即為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG=

MG

BG

=2，
∴tan∠GMG′=tan∠MBG=

GG′

MG

=2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分別是MG、MG′的中點(diǎn)，
∴PP′是△MGG′的中位線；
∴PP′=

1

2

GG′=2；
即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為2．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)；綜合性強(qiáng)，難度較大．