Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c過點A（一1，4），其頂點的橫坐標為，與x軸分別交于B（x₁，0）、C（x₂，0）兩點（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13．
（1）求此拋物線的解析式及頂點E的坐標；
（2）設此拋物線與y軸交于D點，點P是拋物線上的點，若△PBO的面積為△DOC面積的倍，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意得
??
將①②代入②得 a=-1，則b=1，c=6
∴該拋物線的解析式為y=-x²+x+6=
∴頂點E的坐標為

（2）拋物線與y軸交點D的橫坐標為x=0，則y=6，即D（0，6）
∵-x²+x+6=0?-（x-3）（x+2）=0，即x=-2或3
∴B（-2，0）、C（3，0）
設P的坐標為（m、n）


又∵，即
∴n=6或-6
當n=6時，則6=-m²+m+6，解得m=0或1；
當n=-6時，則-6=-m²+m+6，解得m=-3或4．
∴點P的坐標為（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）
答：（1）該拋物線的解析式為y=-x²+x+6，頂點E的縱坐標為；
（2）點P的坐標為（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）．
分析：（1）首先認真閱讀題目要求，畫出如下圖所示，根據拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，4）列出關系式4=a-b+c；根據拋物線y=ax²+bx+c頂點的橫坐標為列出關系式；與x軸分別交于B（x₁，0）、C（x₂，0）兩點（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13，那么可得到方程ax²+bx+c=0，因此x₁+x₂=，x₁•x₂=，則利用完全平方式可得．聯(lián)立三式組成方程組，可解得a、b、c的值，則拋物線的解析式即可確定．再將解析式寫出頂點式，則頂點坐標E也就確定．
（2）設P的坐標為（m、n）．首先結合圖形，求得B、C、D點的坐標．再用n表示出△PBO的面積，并求得△DOC面積的面積，根據兩個三角形的面積比，求得n的取值，則m的取值，也就可求出．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．