Question

（2013•煙臺(tái)）已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是

AE∥BF

，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式

QE=QF

；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明．

Answer 1

分析：（1）證△BFQ≌△AEQ即可；
（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；
（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中

∠BFQ=∠AEQ ∠BQF=∠AQE BQ=AQ

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案為：AE∥BF，QE=QF．

（2）QE=QF，
證明：如圖2，延長(zhǎng)FQ交AE于D，
∵Q為AB中點(diǎn)，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中

∠FBQ=∠DAQ AQ=BQ ∠BQF=∠AQD

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．

（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，
證明：如圖3，
延長(zhǎng)EQ、FB交于D，
∵Q為AB中點(diǎn)，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中，

∠1=∠D ∠2=∠3 AQ=BQ

，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜邊DE上的中線，
∴QE=QF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．