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（2013•長沙）設a、b是任意兩個不等實數，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數”．
（1）反比例函數y=
2013
x
是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；
（2）若一次函數y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數”，求此函數的解析式；
（3）若二次函數y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數”，求實數a，b的值．
分析：（1）根據反比例函數y=
2013
x
的單調區(qū)間進行判斷；
（2）根據新定義運算法則列出關于系數k、b的方程組
km+b=m
kn+b=n
或
km+b=n
kn+b=m
，通過解該方程組即可求得系數k、b的值；
（3）y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
=
1
5
（x-2）2-
11
5
，所以該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是-
11
5
，且當x＜2時，y隨x的增大而減�。划攛＞2時，y隨x的增大而增大；根據新定義運算法則列出關于系數a、b的方程組
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
或
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
，通過解方程組即可求得a、b的值．
解答：解：（1）反比例函數y=
2013
x
是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數”．理由如下：
反比例函數y=
2013
x
在第一象限，y隨x的增大而減小，
當x=1時，y=2013；
當x=2013時，y=1，
所以，當1≤x≤2013時，有1≤y≤2013，符合閉函數的定義，故
反比例函數y=
2013
x
是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數”；

（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．
①當k＞0時，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而增大，故根據“閉函數”的定義知，
km+b=m
kn+b=n
，
解得
k=1
b=0
．
∴此函數的解析式是y=x；
②當k＜0時，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而減小，故根據“閉函數”的定義知，
km+b=n
kn+b=m
，
解得
k=-1
b=m+n
．
∴此函數的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
=
1
5
（x-2）2-
11
5
，
∴該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是-
11
5
，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大；
①當b≤2時，此二次函數y隨x的增大而減小，則根據“閉函數”的定義知，
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
，
解得，
a=1
b=-2
（不合題意，舍去）或
a=-2
b=1
；
②當a＜2＜b時，此時二次函數y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
的最小值是-
11
5
=a，根據“閉函數”的定義知，b=
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
、b=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
；
a）當b=
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
時，由于b=
1
5
（-
11
5
）2-
4
5
×（-
11
5
）-
7
5
=
166
125
＜2，不合題意，舍去；
b）當b=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
時，解得b=
9±
109
2
，
由于b＞2，
所以b=
9+
109
2
；
③當a≥2時，此二次函數y隨x的增大而增大，則根據“閉函數”的定義知，
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
，
解得，
a=
9-
109
2
b=
9+
109
2
，
∵
9-
109
2
＜0，
∴舍去．
綜上所述，
a=-2
b=1
或
a=-
11
5
b=
9+
109
2
．
點評：本題綜合考查了二次函數圖象的對稱性和增減性，一次函數圖象的性質以及反比例函數圖象的性質．解題的關鍵是弄清楚“閉函數”的定義．解題時，也要注意“分類討論”數學思想的應用．
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