Question

如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，點(diǎn)P，Q分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)（與A、B不重合），點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)．PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．
（1）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△PBQ的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式．并指出自變量的取值范圍．
（2）△PBQ的面積與△ABC的面積能相等嗎？若能相等，求出x的值；若不能相等，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在線段AB上；②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上．△PBQ都是以BQ為底，PB為高，可據(jù)此得出S、x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先計(jì)算出△ABC的面積，然后將其值代入（1）中得出的函數(shù)式中，如果方程有解且符合題意，則能相等，否則就不能相等．

解答：解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如圖1），此時(shí)0＜x≤2．
∵AP=CQ=x，
∴BQ=2+x，PB=2-x．
∴S_△PBQ=

1

2

BQ•PB=

1

2

（2+x）（2-x）．
即S=

1

2

（4-x²）（0＜x＜2）；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），此時(shí)x＞2．
∵AP=CQ=x，
∴BQ=2+x，PB=x-2．
∴S_△PBQ=

1

2

BQ•PB=

1

2

（2+x）（x-2）．
即S=

1

2

（x²-4）（x＞2）；

（2）S_△ABC=

1

2

×2×2=2．
①令

1

2

（4-x²）=2，即x²=0，x=0不符合題意；
②令

1

2

（x²-4）=2，即x²=8，解得x=±2

2

（負(fù)值舍去）．
故當(dāng)AP的長(zhǎng)為2

2

時(shí)，△PBQ的面積與△ABC的面積相等．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．