Question

平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF=2CE．當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)B作BH⊥CE與點(diǎn)H，易證△ACE≌△CBH，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得AF+BF=2CE．
解答：解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，
證明：過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
圖3中，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF，交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．

點(diǎn)評(píng)：正確作出垂線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．