Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（0，2），且與正比例函數(shù)y＝x的圖象交于點(diǎn)C（m，3）．

(1)求一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的函數(shù)關(guān)系式；

(2)△AOC的面積為______；

(3)若點(diǎn)M在第二象限，△MAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，4）或（-2，6）.

【解析】

(1)將點(diǎn)C（m，3）代入正比例函數(shù)y＝x求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y＝kx＋b，即可求出一次函數(shù)解析式；

(2) 由解析式求得A的坐標(biāo)，即可求出△AOC的面積；

(3)由題意可分兩種情況，即A為直角頂點(diǎn)和B為直角頂點(diǎn)，分別設(shè)對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)為M2和M1，過(guò)點(diǎn)M1作M1E⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M2作M2F⊥x軸于點(diǎn)F，可證明△BEM1≌△AOB（AAS），可求得M1的坐標(biāo)，同理可求得M2的坐標(biāo)，可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)C（m，3）在正比例函數(shù)圖象y＝x上，

∴ m＝2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，3）

∵點(diǎn)B（0，2）、C（2，3）在一次函數(shù)y＝kx＋b圖象上，

∴代入一次函數(shù)解析式可得：b＝2，2k＋b＝3 ，

解得k＝ ，b＝2，

∴一次函數(shù)的解析式為；

（2）∵點(diǎn)A在函數(shù)上，并且點(diǎn)A在x軸上，

∴當(dāng)y=0時(shí)， ，解得，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0）, 根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，3）

∴；

（3）如圖，

∵點(diǎn)M在第二象限，△MAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，
∴①當(dāng)AB=BM1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M1作M1E⊥y軸于點(diǎn)E，
∵∠M1BE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠M1B E，
∵在△BED1和△AOB中，

∴△BEM1≌△AOB（AAS），
∴BE=AO=4，M1E=BO=2，
即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，6）；

②當(dāng)AB=AM2時(shí)，過(guò)點(diǎn)M2作M2F⊥x軸于點(diǎn)F，
同理可得出：△AFM2≌△AOB，
∴FA=BO=2，M2F=AO=4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，4）．
綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，6）或（-6，4）．