(2013•綿陽)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2),交x軸于A、B兩點(diǎn),其中A(-1,0),直線l:x=m(m>1)與x軸交于D.
(1)求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo);
(2)在直線l上找點(diǎn)P(P在第一象限),使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在(2)成立的條件下,在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q,使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)由于拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2),所以拋物線的對(duì)稱軸為y軸,且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2,即b=0,c=-2,再將A(-1,0)代入y=ax2+bx+c,求出a的值,由此確定該拋物線的解析式,然后令y=0,解一元二次方程求出x的值即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n).由于∠PDB=∠BOC=90°,則D與O對(duì)應(yīng),所以當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí),分兩種情況討論:①△OCB∽△DBP;②△OCB∽△DPB.根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,得出n與m的關(guān)系式,進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q(x,2x2-2),使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.過點(diǎn)Q作QE⊥l于點(diǎn)E.利用AAS易證△DBP≌△EPQ,得出BD=PE,DP=EQ.再分兩種情況討論:①P(m,
m-1
2
);②P(m,2(m-1)).都根據(jù)BD=PE,DP=EQ列出方程組,求出x與m的值,再結(jié)合條件x>0且m>1即可判斷不存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q,使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,-2),
∴b=0,c=-2;
∵y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1,0),
∴0=a+0-2,a=2,
∴拋物線的解析式為y=2x2-2.
當(dāng)y=0時(shí),2x2-2=0,
解得x=±1,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0);

(2)設(shè)P(m,n).
∵∠PDB=∠BOC=90°,
∴當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí),分兩種情況:
①若△OCB∽△DBP,則
OB
DP
=
OC
DB
,
1
n
=
2
m-1

解得n=
m-1
2

由對(duì)稱性可知,在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件,
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,
m-1
2
)或(m,
1-m
2
)(舍);
②若△OCB∽△DPB,則
OB
DB
=
OC
DP

1
m-1
=
2
n

解得n=2m-2.
由對(duì)稱性可知,在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件,
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,2m-2)或(m,2-2m),
∵P在第一象限,m>1,
∴(m,2m-2)或(m,2-2m)舍
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(m,
m-1
2
),(m,2m-2).

(3)假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q(x,2x2-2),使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
如圖,過點(diǎn)Q作QE⊥l于點(diǎn)E.
∵∠DBP+∠BPD=90°,∠QPE+∠BPD=90°,
∴∠DBP=∠QPE.
在△DBP與△EPQ中,
∠BDP=∠PEQ=90°
∠DBP=∠EPQ
BP=PQ
,
∴△DBP≌△EPQ,
∴BD=PE,DP=EQ.
分兩種情況:
①當(dāng)P(m,
m-1
2
)時(shí),
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2-2),
m-1=2x2-2-
m-1
2
m-1
2
=m-x
,
解得
x1=1
m1=1
,
x2=
1
2
m2=0
(均不合題意舍去);
②當(dāng)P(m,2(m-1))時(shí),
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2-2),
m-1=2x2-2-2(m-1)
2(m-1)=m-x
,
解得
x1=1
m1=1
,
x2=-
5
2
m2=
9
2
(均不合題意舍去);
綜上所述,不存在滿足條件的點(diǎn)Q.
點(diǎn)評(píng):此題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到二次函數(shù)解析式的確定,相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí);在相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊不確定的情況下,一定要注意分類討論,以免漏解.
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