Question

已知：在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在四邊形OABC的邊上依次沿O-A-B-C的順序向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為l，△POC的面積為S，S與l的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．

（1）結(jié)合以上信息及圖2填空：圖2中的m=

2

5

；
（2）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及圖2中OF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，△POC的面積為12，求出斜邊AO即可；
（2）圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，8），得出y_E=y_D=8，此時(shí)圖2中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合，根據(jù)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)△POC的面積不變，可得AB與OC平行，求出直線AB的解析式，可得出直線OC的解析式，再由點(diǎn)C縱坐標(biāo)為-2，可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出OF的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）根據(jù)圖形可得：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，△POC的面積為8，
∵OA=

42+22

=2

5

，
∴P移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)l=2

5

，
∴m的值為2

5

．
（2）∵圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，8），
∴y_E=y_D=8，此時(shí)圖2中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合，
∵點(diǎn)B在x軸上，
∴S_△POC=

1

2

OB×2=8，
解得：OB=8，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），
∵點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△POC的面積不變，
∴可得OC∥AB，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A、B的坐標(biāo)代入可得：

2k+b=3 8k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=4

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+4，
∴直線OC的解析式為y=-

1

2

x，
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-2，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，-2），
∴OF=l=OA+AB+BC=2

5

+2

5

+2

5

=6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，涉及了等腰梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及一次函數(shù)的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題關(guān)鍵是將兩圖中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，此題難度較大．