Question

如圖1，過點(diǎn)A（0，4）的圓的圓心坐標(biāo)為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點(diǎn)，且BC⊥AC，拋物線經(jīng)過C、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為D。

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（       ，       ），拋物線的表達(dá)式為       .
（2）如圖2，求證：BD//AC；
（3）如圖3，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點(diǎn)P，求AP的長。

Answer 1

（1）（6，2）（2）見解析（3）8

解：（1）（6，2）；。
（2）證明：令，即，解得x=2或x=7。
∴D（7，0）。
∴BC=AC=，BD=，CD=5�！�。
∴∠CBD=90⁰，即BD⊥BC。
又∵ AC⊥BC，∴BD//AC。

（3）連接AB，BP，
∵AC⊥BC，BC=AC=，
∴∠ACB=90⁰，∠ABC=45⁰，∠APB=∠ACB=45⁰，AB=。
∴∠ABQ=∠APB。
又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB。
∴，即，解得AP=8。

（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，易證△AOC≌△CEB（AAS），則
CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6，∴B（6，2）。
將B（6，2），C（2，0）代入，得
，解得。
∴拋物線的表達(dá)式為。
（2）應(yīng)用勾股定理求出BC，BD和CD的長，根據(jù)勾股定理逆定理得∠CBD=90⁰，即BD⊥BC，從而由AC⊥BC，得到BD//AC。
（3）連接AB，BP，通過證明△ABQ∽△APB得求解。
別解：
①過點(diǎn)C作CH⊥AQ于點(diǎn)H，由垂徑定理和射影定理求解。
②由勾股定理求得延長BC交⊙O于點(diǎn)R，由相交弦定理求解。