【題目】綜合與探究
如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣8與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,直線l經(jīng)過坐標原點O,與拋物線的一個交點為D,與拋物線的對稱軸交于點E,連接CE,已知點A,D的坐標分別為(﹣2,0),(6,﹣8).

(1)求拋物線的函數(shù)表達式,并分別求出點B和點E的坐標;
(2)試探究拋物線上是否存在點F,使△FOE≌△FCE?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點P是y軸負半軸上的一個動點,設(shè)其坐標為(0,m),直線PB與直線l交于點Q,試探究:當m為何值時,△OPQ是等腰三角形.

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx﹣8經(jīng)過點A(﹣2,0),D(6,﹣8),

,解得 ,

∴拋物線解析式為y= x2﹣3x﹣8,

∵y= x2﹣3x﹣8= (x﹣3)2 ,

∴拋物線對稱軸為直線x=3,

又∵拋物線與x軸交于點A、B兩點,點A坐標(﹣2,0),

∴點B坐標(8,0).

設(shè)直線l的解析式為y=kx,

∵經(jīng)過點D(6,﹣8),

∴6k=﹣8,

∴k=﹣ ,

∴直線l的解析式為y=﹣ x,

∵點E為直線l與拋物線的交點,

∴點E的橫坐標為3,縱坐標為﹣ ×3=﹣4,

∴點E坐標(3,﹣4)


(2)解:拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE,

此時點F縱坐標為﹣4,

x2﹣3x﹣8=﹣4,

∴x2﹣6x﹣8=0,

x=3 ,

∴點F坐標(3+ ,﹣4)或(3﹣ ,﹣4)


(3)解:①如圖1

中,當OP=OQ時,△OPQ是等腰三角形.

∵點E坐標(3,﹣4),

∴OE= =5,過點E作直線ME∥PB,交y軸于點M,交x軸于點H.則 = ,

∴OM=OE=5,

∴點M坐標(0,﹣5).

設(shè)直線ME的解析式為y=k1x﹣5,

∴3k1﹣5=﹣4,

∴k1=

∴直線ME解析式為y= x﹣5,

令y=0,得 x﹣5=0,解得x=15,

∴點H坐標(15,0),

∵MH∥PB,

= ,即 = ,

∴m=﹣ ,

②如圖2

中,當QO=QP時,△POQ是等腰三角形.

∵當x=0時,y= x2﹣3x﹣8=﹣8,

∴點C坐標(0,﹣8),

∴CE= =5,

∴OE=CE,

∴∠1=∠2,

∵QO=QP,

∴∠1=∠3,

∴∠2=∠3,

∴CE∥PB,

設(shè)直線CE交x軸于N,解析式為y=k2x﹣8,

∴3k2﹣8=﹣4,

∴k2= ,

∴直線CE解析式為y= x﹣8,

令y=0,得 x﹣8=0,

∴x=6,

∴點N坐標(6,0),

∵CN∥PB,

=

= ,

∴m=﹣

③OP=PQ時,顯然不可能,理由,

∵D(6,﹣8),

∴∠1<∠BOD,

∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP,

∴∠PQO>∠1,

∴OP≠PQ,

綜上所述,當m=﹣ 或﹣ 時,△OPQ是等腰三角形


【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可求出點B坐標,求出直線OD解析式即可解決點E坐標.(2)拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE,此時點F縱坐標為﹣4,令y=﹣4即可解決問題.(3))①如圖1中,當OP=OQ時,△OPQ是等腰三角形,過點E作直線ME∥PB,交y軸于點M,交x軸于點H,求出點M、H的坐標即可解決問題.②如圖2中,當QO=QP時,△POQ是等腰三角形,先證明CE∥PQ,根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程即可解決問題.

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(1) AB=____ ;當t=1時,點Q表示的數(shù)是___ ;當t=___時,P、Q兩點相遇;

(2)如圖2,若點M為線段AP的中點,點N為線段BP中點,點P在運動過程中,線段MN的長度是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由.若不變,請求出線段MN的長;

(3)如圖3,若點M為線段的AP中點,點T為線段BQ中點,則點M表示的數(shù)為______;點T表示的數(shù)為______;MT=______ (用含t的代數(shù)式填空)

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D

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