Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對稱軸為x=4．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時(shí)的時(shí)間（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵圖象經(jīng)過點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對稱軸為x=4，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-8；

（2）存在直線CD垂直平分PQ．
理由如下：令y=0，則x²-x-8=0，
整理得，x²-8x-84=0，
解得x₁=-6，x₂=14（為點(diǎn)B坐標(biāo)），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），
在Rt△AOC中，AC===10，
∴OD=AD-AO=AC-AO=10-6=4，
∴點(diǎn)D在二次函數(shù)的對稱軸上，
∵直線CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
又∵AD=AC，
∴∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DQ是△ABC的中位線，
∴DQ=AC=×10=5，
∴AP=AD-PD=AC-DQ=10-5=5，
∵動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，
∴t=5÷1=5，
∴存在t=5（秒）時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分，
此時(shí)，在Rt△BOC中，BC===2，
∵DQ是△ABC的中位線，
∴CQ=BC=×2=，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒單位長度．
分析：（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，根據(jù)對稱軸解析式列出關(guān)于a、b、c的方程組，求解即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式求出AC的長，然后求出OD，可得點(diǎn)D在拋物線對稱軸上，根據(jù)線段垂直平分線上的性質(zhì)可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根據(jù)等邊對等角可得∠PDC=∠ACD，從而得到∠QDC=∠ACD，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得PQ∥AC，再根據(jù)點(diǎn)D在對稱軸上判斷出DQ是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，根據(jù)勾股定理求出BC，然后求出CQ，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，計(jì)算即可求出點(diǎn)Q的速度．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，（2）求出DQ∥AC是解題的關(guān)鍵．