Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M、N在邊BC上．

（1）如圖1，如果AM=AN，求證：BM=CN；
（2）如圖2，如果M、N是邊BC上任意兩點，并滿足∠MAN=45°，那么線段BM、MN、NC是否有可能使等式MN²=BM²+NC²成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件“在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC”以及等腰直角三角形的性質(zhì)來判定△ABM≌△CAN（AAS）；然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等求得BM=CN；
（2）過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對應(yīng)邊AM=AE、對應(yīng)角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM．
即得∠AMB=∠ANC．（1分）
在△ABM和△CAN中，

∠AMB=∠ANC ∠B=∠C AB=AC

∴△ABM≌△CAN（AAS）．（2分）
∴BM=CN．（1分）
另證：過點A作AD⊥BC，垂足為點D．
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．（1分）
同理，證得MD=ND．（1分）
∴BD-MD=CD-ND．
即得BM=CN．（2分）

（2）MN²=BM²+NC²成立．
證明：過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．（1分）
在△ABM和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE BM=CE

∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．（2分）
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．（1分）
在△MAN和△EAN中，

AM=AE ∠MAN=∠EAN AN=AN

∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．（1分）
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
即得MN²=BM²+NC²．（1分）
另證：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，AB與AC重合，設(shè)點M的對應(yīng)點是點E．
于是，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AM=AE，∠BAM=∠CAE．（3分）
以下證明同上．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．等腰直角三角形的兩個底角都是45°、兩腰相等．