Question

如圖，點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B．已知拋物線y=

1

6

x2+bx+c過點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象．
（2）點(diǎn)Q（8，m）在拋物線y=

1

6

x2+bx+c上，點(diǎn)P為此拋物線對稱軸上一個動點(diǎn)，求PQ-PA的最大值．
（3）CE是過點(diǎn)C的⊙M的切線，點(diǎn)E是切點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△CON的面積等于△COE的面積？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心的位置及圓的半徑可知A（2，0），B（6，0），代入拋物線y=

1

6

x2+bx+c中，解方程組確定拋物線解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由拋物線的對稱性可知PA=PB，可知只有P、B、Q三點(diǎn)共線時，PQ-PA最大，即PQ-PA的最大值=BQ=AC；
（3）存在．連接CM，EM，證明CM∥OE，先求直線CM的解析式，根據(jù)平行關(guān)系確定直線OE的解析式，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，此外，將E點(diǎn)橫坐標(biāo)的相反數(shù)代入拋物線解析式可求滿足條件的另外一個N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=

1

6

x2+bx+c過點(diǎn)A和B，則

1 6 ×22+2b+c=0 1 6 ×62+6b+c=0

解得　

b=- 4 3 c=2.

則拋物線的解析式為　y=

1

6

x2-

4

3

x+2．
故　C（0，2）．…（2分）
（說明：拋物線的大致圖象要過點(diǎn)A、B、C，其開口方向、頂點(diǎn)和對稱軸相對準(zhǔn)確）

（2）由（1）可知拋物線對稱軸l是x=4，
將Q（8，m）代入拋物線解析式，得m=2，即Q（8，2），
由拋物線的對稱性可知PA=PB，BQ=AC，
當(dāng)P、B、Q三點(diǎn)共線時，PQ-PA最大，
PQ-PA的最大值=BQ=AC=2

2

…（3分）


（3）存在．如圖②，連接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
CE是⊙M的切線，∴∠DEM=90°，則∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
則OE∥CM．…（7分）
設(shè)CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過點(diǎn)C（0，2），M（4，0），
∴

4k+b=0 b=2

解得　

k=- 1 2 b=2

直線CM的解析式為y=-

1

2

x+2．
又∵直線OE過原點(diǎn)O，且OE∥CM，
則OE的解析式為　y=-

1

2

x．…（8分）
顯然△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
設(shè)OD=x，CD=4-x，則OC²+OD²=CD²，
解得OD=1.5，直線CD解析式為y=-

4

3

x+2，聯(lián)立

y=- 4 3 x+2 y=- 1 2 x

，得E點(diǎn)的坐標(biāo)（2.4，-1.2），
過E點(diǎn)作y軸的平行線與拋物線的交點(diǎn)即為所求，
把x=2.4代入拋物線y=

1

6

x2-

4

3

x+2中，得y=-

6

25

，即N（

12

5

，-

6

25

），
另外，在y軸的左側(cè)也有一個點(diǎn)符合要求，即N（-

12

5

，

154

25

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求出拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)的特殊性證明平行線，利用平行線的性質(zhì)解題．