【題目】以四邊形ABCD的邊ABAD為底邊分別作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF.

(1)當四邊形ABCD為正方形時(如圖①),以邊AB、AD為斜邊分別向外側作等腰直角ABE和等腰直角ADF,連接BF、ED,線段BFED的數(shù)量關系是_____________;

(2)當四邊形ABCD為矩形時(如圖②),以邊ABAD為斜邊分別向矩形內側、外側作等腰直角ABE和等腰直角ADF,連接EF、BD,線段EFBD具有怎樣的數(shù)量關系?請說明理由;

(3)當四邊形ABCD為平行四邊形時,以邊ABAD為底邊分別向平行四邊形內側、外側作等腰ABE和等腰ADF,且ABEADF的頂角均為 ,連接EF、BD,交點為G.請用表示出∠FGD,并說明理由.

【答案】BF=ED ; (2),證明見解析;(3).

【解析】分析:(1)根據(jù)正方形的性質可得AB=AD,因等腰三角形ABE 和等腰三角形ADF,可得AE=BE=AF=FD,再證∠EAD=∠FAB,利用SAS證明△AED≌△AFB,即可得BF=ED;(2)EF=BD,利用兩邊對應成比例,夾角相等的兩個三角形相似,證明△BAD∽△EAF,根據(jù)相似三角形的性質可得所以BD=EF;(3)FGD=,先證得△ABE∽△ADF,可得,即,再證得∠BAD=EAF,所以△BAD∽△EAF,因為 AHF=DHG,即可得∠FGD=FAD=.

詳解:

(1)BF=ED;

(2)EF=BD;

證明:如圖②,

∵△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,EAB=45°

同理,∴∠BAE+EAD=EAD+FAD,

即∠BAD=EAF,AB=AE,AD=AF

∴△BAD∽△EAF,

, BD=EF;

(3)解:∠FGD=

如圖,

∵△ABE為等腰三角形,EB=EA,同理FA=FD,

,

又∵∠BEA=DFA=,

∴△ABE∽△ADF,

,即,

EAB+EAD=DFA+EAD,即∠BAD=EAF,

∴△BAD∽△EAF,

又∵∠AHF=DHG,

∴∠FGD=FAD=.

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