Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)

如圖（1）：若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作點B關(guān)于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為　   　．

（2）實踐運用

如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　   　．

（3）拓展延伸

如圖（4）：點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）=。

（2）。

（3）拓展延伸：作圖如下：

【解析】

分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值：

∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點

∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1。

∴CE=BE=。

（2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值：

∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱。

∵的度數(shù)為60°，點B是的中點，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°�！唷螮OC=30°。

∴∠AOE=60°+30°=90°。

∵OA=OE=1，∴AEOA=。

∵AE的長就是BP+AP的最小值，∴BP+AP的最小值是。

（3）拓展延伸：分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F，然后連接EF，EF交AB于M、交BC于N。則點M，點N，使PM+PN的值最小。

解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：。

（2）實踐運用：

如圖，過B點作弦BE⊥CD，連接AE交CD于P點，連接OB、OE、OA、PB，則點P 即為使BP+AP的值最小的點。

BP+AP的最小值是。

（3）拓展延伸：作圖如下：