【題目】已知,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上,點(diǎn)G在直線(xiàn)AD上(P、G不與正方形頂點(diǎn)重合,且在CD的同側(cè)),PD=PG,DFPG于點(diǎn)H,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F,將線(xiàn)段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PE,連結(jié)EF

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線(xiàn)段BC與線(xiàn)段AD上時(shí).

①求證:DG=2PC;

②求證:四邊形PEFD是菱形;

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線(xiàn)段BC與線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),請(qǐng)猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.

【答案】1①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2)四邊形PEFD是菱形.理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:1①作PMDGM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由PD=PGMG=MD,根據(jù)矩形的判定易得四邊形PCDM為矩形,則PC=MD,于是有DG=2PC;

②根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=AB,由四邊形ABPM為矩形得AB=PM,則AD=PM,再利用等角的余角相等得到∠GDH=MPG,于是可根據(jù)“ASA”證明ADF≌△MPG,得到DF=PG,加上PD=PG,得到DF=PD,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EPG=90°,PE=PG,所以PE=PD=DF,再利用DFPG得到DFPE,于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形,加上DF=PD,則可判斷四邊形PEFD為菱形;

2)與(1)中②的證明方法一樣可得到四邊形PEFD為菱形.

試題解析:(1①作PMDGM,如圖1

PD=PG,

MG=MD

∵四邊形ABCD為矩形,

PCDM為矩形,

PC=MD,

DG=2PC

②∵四邊形ABCD為正方形,

AD=AB

∵四邊形ABPM為矩形,

AB=PM,

AD=PM,

DFPG,

∴∠DHG=90°,

∴∠GDH+DGH=90°,

∵∠MGP+MPG=90°,

∴∠GDH=MPG,

ADFMPG, ,

∴△ADF≌△MPGASA),

DF=PG,

PD=PG,

DF=PD,

∵線(xiàn)段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PE,

∴∠EPG=90°,PE=PG

PE=PD=DF,

DFPG,

DFPE,

DFPE,且DF=PE,

∴四邊形PEFD為平行四邊形,

DF=PD,

∴四邊形PEFD為菱形;

2)解:四邊形PEFD是菱形.理由如下:

PMDGM,如圖2

與(1)一樣同理可證得ADF≌△MPG,

DF=PG

PD=PG,

DF=PD,

∵線(xiàn)段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PE,

∴∠EPG=90°,PE=PG

PE=PD=DF

DFPG,

DFPE,

DFPE,且DF=PE

∴四邊形PEFD為平行四邊形,

DF=PD,

∴四邊形PEFD為菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A型號(hào)數(shù)量(單位:個(gè))

B型號(hào)數(shù)量(單位:個(gè))

總售價(jià)(單位:元)

1

3

26

3

2

29

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(2)“蛋線(xiàn)”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

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(3)根據(jù)(2)中的坐標(biāo)系作出與ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形A2B2C2,并標(biāo)出B2、C2兩點(diǎn)的坐標(biāo).

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