【題目】若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),開口方向都相同,則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”。
(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2—4mx+2m2+1,和y2=ax2+bx+5,其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),若y1+y2為y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值。
【答案】(1)本題為開放題,答案不唯一,符合題意即可,如:;
(2),當(dāng)時(shí),的最大值為20.
【解析】
試題(1)、只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn),同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù),用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可.(2)、由y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)可以求出m的值,然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式,然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題.
試題解析:(1)、設(shè)頂點(diǎn)為(h,k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x﹣h)2+k, 當(dāng)a=2,h=3,k=4時(shí),
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(x﹣3)2+4. ∵2>0, ∴該二次函數(shù)圖象的開口向上.
當(dāng)a=3,h=3,k=4時(shí), 二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(x﹣3)2+4. ∵3>0,∴該二次函數(shù)圖象的開口向上.
∵兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4頂點(diǎn)相同,開口都向上,
∴兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.
∴符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為:y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4.
(2)、∵y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1), ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1. 整理得:m2﹣2m+1=0. 解得:m1=m2=1.
∴y1=2x2﹣4x+3=2(x﹣1)2+1, ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+(b﹣4)x+(c+3),
∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”, ∴y1+y2=3(x﹣1)2+1=3x2﹣6x+4, ∴函數(shù)y2的表達(dá)式為:y2=x2﹣2x+1.
∴y2=x2﹣2x+1=(x﹣1)2, ∴函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為x=1. ∵1>0,
∴函數(shù)y2的圖象開口向上. 當(dāng)0≤x≤3時(shí),∵函數(shù)y2的圖象開口向上, ∴y2的取值范圍為0≤y2≤4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,設(shè)直線截此三角形所得陰影部分的面積為S,則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為下列選項(xiàng)中的( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖的矩形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),有一圓過C、D、E三點(diǎn),且此圓分別與AD、BC相交于P、Q兩點(diǎn).甲、乙兩人想找到此圓的圓心O,其作法如下:
(甲) 作∠DEC的角平分線L,作DE的中垂線,交L于O點(diǎn),則O即為所求;
(乙) 連接PC、QD,兩線段交于一點(diǎn)O,則O即為所求.
對(duì)于甲、乙兩人的作法,下列判斷何者正確?( )
A. 兩人皆正確 B. 兩人皆錯(cuò)誤
C. 甲正確,乙錯(cuò)誤 D. 甲錯(cuò)誤,乙正確
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【題目】利用圖象法求方程的解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法,它是將方程的解看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).若關(guān)于x的方程x2+a﹣=0(a>0)只有一個(gè)整數(shù)解,則a的值等于 .
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣4,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線y=mx+n經(jīng)過A(﹣4,0)、C(0,3)兩點(diǎn).
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的解;
(2)若ax2+bx+c>mx+n,寫出x的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(0,4).
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)P是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn),聯(lián)結(jié)AB、PB,如果∠PBO=∠BAO,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將拋物線沿y軸向下平移m個(gè)單位,所得新拋物線與y軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥x軸交新拋物線于點(diǎn)E,射線EO交新拋物線于點(diǎn)F,如果EO=2OF,求m的值.
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【題目】如圖,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn),.點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)且垂直于軸的直線分別交直線及拋物線于點(diǎn),.
(1)填空:點(diǎn)的坐標(biāo)為_________,拋物線的解析式為_________;
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn),重合),
①當(dāng)為何值時(shí),線段最大值,并求出的最大值;
②求出使為直角三角形時(shí)的值;
(3)若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離是,請(qǐng)直接寫出此時(shí)由點(diǎn),,,構(gòu)成的四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)D在△ABC的外部,AD∥BC,點(diǎn)E在邊AB上,ABAD=BCAE.
(1)求證:∠BAC=∠AED;
(2)在邊AC取一點(diǎn)F,如果∠AFE=∠D,求證:.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖1,過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E.求△PAE面積S的最大值;
(3)如圖2,拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形?若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.
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