Question

數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．

小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE

=

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）一般情況，證明結(jié)論：
如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你繼續(xù)完成對(duì)以上問題（1）中所填寫結(jié)論的證明）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題：
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC． 若△ABC的邊長為1，AE=2，則CD的長為

1或3

（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，證出等邊三角形AEF，再證△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分為兩種情況：一是E在AB的延長線上，D在線段CB的延長線上，求出CD=3，二是E在BA的延長線上，D在線段BC的延長線上，求出CD=1，即可得到答案．

解答：解：（1）答案為：=．

（2）證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF，
∴AE=BD．

（3）①∵AB=1，AE=2，△ABC是等邊三角形，B是AE的中點(diǎn)，
∴AB=AC=BC=1，易得，△ACE是Rt△，
∴∠ACE=90°，
∴∠D=∠ECB=30°，∠DBE=∠ABC=60°，即△DEB是直角三角形．
∴BD=2（30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半），即CD=1+2=3．
另法：∵EF∥CD
∴∠EFC=∠EBD=180°-60°
∵EC=ED
∴∠D=∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF=60°-∠ECD=60°-∠D
∴△EFC≌△EDB
∴EF=BD
又∵∠A=∠AEF
∴AE=2
∵BC=1
∴CD=3
②∵AE=2，BA=BC=1，
∴BE=3，作EF⊥CD交CD于點(diǎn)F，則在Rt△EFB中，∠BEF=90°-60°=30°，
∴BF=

1

2

BE=

1

2

×（1+3）=1.5，
∴CF=BF-BC=1.5-1=0.5，
而ED=EC，EF⊥CD，
∴DF=CF（三線合一），
∴CD=2CF=1．
答：CD的長是1或3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．