Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限內(nèi)。

（1）   求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）   點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，

連結(jié)PN。設(shè)PE=x.△PMN的面積為S。

①  求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②  △PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。現(xiàn)在開(kāi)始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′;探究：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等腰梯形ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。

 

Answer 1

【答案】

（1）E（1，）                    

（2）①當(dāng)0≤X≤1時(shí)，S=                

     當(dāng)1＜X≤4時(shí)，S=-    

②若0≤X≤1時(shí)，S=             

若1＜X≤4時(shí)，S=-

∵-＜0 ∴S隨X的增大而減小

∴S不存在最大值                    

∴綜上所述，當(dāng)0≤X≤1時(shí)，S存在最大值，最大值為  

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內(nèi)部，這時(shí)重疊部分的面積即為直角梯形面積，y=×（2+3）× =

當(dāng)2＜X≤4時(shí)，y=×（4-t+5-t）× =-  t+

當(dāng)4＜X≤5時(shí)，y=(5-t)×× (5-t)= （5-t）²

【解析】本試題主要是考查了三角形面積的表示以及點(diǎn)的坐標(biāo)的求解和函數(shù)關(guān)系式等知識(shí)的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)樵诘妊�梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限內(nèi)。故利用平行可知點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連結(jié)PN。設(shè)PE=x.△PMN的面積為S，根據(jù)點(diǎn)的位置，分別討論得到S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；然后根據(jù)解析時(shí)分析其最值。

（3）因?yàn)楣潭ǖ妊�梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′;可以知道在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積即為直角梯形面積，可以得到y(tǒng)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式