Question

附加題：已知線段AB=m，CD=n，線段CD在直線AB上運(yùn)動（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)），若|m-2n|=-（6-n）²．

（1）求線段AB、CD的長；
（2）M、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，若BC=4，求MN；
（3）當(dāng)CD運(yùn)動到某一時刻時，D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，P是線段AB延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個結(jié)論：①

PA-PB

PC

是定值；②

PA+PB

PC

是定值，請選擇正確的一個并加以證明．

Answer 1

分析：（1）|m-2n|與（6-n）的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個正數(shù)是不可能等于一個負(fù)數(shù)的，所以n=6，m=12；
（2）需要分類討論：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時，根據(jù)“M、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)”，先計算出AM、DN的長度，然后計算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B的左側(cè)時，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度；
（3）計算①或②的值是一個常數(shù)的，就是符合題意的結(jié)論．

解答：解：（1）∵|m-2n|=-（6-n）²
∴n=6，m=12，
∴CD=6，AB=12；

（2）如圖1，∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM=

1

2

AC=

1

2

（AB+BC）=8，
DN=

1

2

BD=

1

2

（CD+BC）=5，
∴MN=AD-AM-DN=9；
如圖2，∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM=

1

2

AC=

1

2

（AB-BC）=4，
DN=

1

2

BD=

1

2

（CD-BC）=1，
∴MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9；

（3）②正確．
證明：

PA+PB

PC

=2．
∵

PA+PB

PC

=

(PC+AC)+(PC-CB)

PC

=

2PC

PC

=2，
∴②

PA+PB

PC

是定值2．

點(diǎn)評：本題考查了比較線段的長短．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．