Question

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該積極地參加到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去，努力地成為學(xué)習(xí)的主人．如圖，請你探究：隨著D點位置的變化，∠BDC與∠A的大小關(guān)系．（①、②問用“＞”表示其關(guān)系，③、④、⑤問用“=”表示其關(guān)系）

（1）如圖①，點D在AC上（不同于A、C兩點），∠BDC與∠A的關(guān)系是

 

；
（2）如圖②，點D在△ABC內(nèi)部，∠BDC與∠A的關(guān)系是

 

；
（3）如圖③，點D是∠ABC，∠ACB平分線的交點，此時∠BDC與∠A的關(guān)系是

 

；
（4）如圖④，點D是∠ABC的平分線和∠ACB外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關(guān)系是

 

；
（5）如圖⑤，點D是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關(guān)系是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，可得到答案；
（2）根據(jù)∠ABC＞∠BDC，可以得出答案；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得出∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，進而得出∠D=90°+

1

2

∠A．
（4）根據(jù)∠A=180°-∠ABC-∠BCA，∠D=180°-

1

2

∠BDC-∠BCD，分別得出∠D與∠A的關(guān)系；
（5）根據(jù)外角的性質(zhì)以及（4）的方法以得出，∠BDC與∠A的關(guān)系．

解答：解：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得出，
∠C＞∠A，

（2）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠A＜∠BDC，

（3）∵BD是∠ABC，∠ACB平分線，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=180°，
∠D=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

（4）∵∠A=180°-∠ABC-∠BCA，
∠D=180°-

1

2

∠BDC-∠BCD，
∵∠BCD=

1

2

∠ABC+

1

2

∠A+∠BCA，
∴∠BDC=

1

2

∠A．

（5）根據(jù)外角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)即可得出：
∠BDC=90°-

1

2

∠A．
故答案分別為：（1）∠C＞∠A，（2）∠A＜∠BDC，（3）∠D=90°+

1

2

∠A．
（4）∠BDC=

1

2

∠A．（5）∠BDC=90°-

1

2

∠A．

點評：此題主要考查了三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)等知識，熟練地應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．