Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），b（x₂，0）（x₁＜x₂），頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是-4．若x₁，x₂是方程x²-2（m-1）+m²-7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁²+x₂²=10．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若存在，求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理可得出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，聯(lián)立x₁²+x₂²=10，可求出m的值，進(jìn)而可求出A、B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得出拋物線的對(duì)稱軸的解析式，即可求出其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)得出的A、B、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）可先求出四邊形ACMB的面積（由于四邊形ACMB不規(guī)則，因此其面積可用分割法進(jìn)行求解）．然后根據(jù)ACMB的面求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵若x₁，x₂是方程x²-2（m-1）+m²-7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由題意得：x₁+x₂═-

b

a

=2（m-1），x₁x₂=

c

a

=m²-7．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-1）²-2（m²-7）=10，
化簡(jiǎn)，得m²-4m+4=0，
解得m=2．
且當(dāng)m=2時(shí)，△=4-4×（-3）＞0，符合題意．
∴原方程可寫成：x²-2x-3=0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），則有：
-4=a（1+1）（1-3），a=1；
∴y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3；

（3）S_{四邊形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM=

1

2

OA•OC+

1

2

（OC+MN）•ON+

1

2

NB•MN，
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=9．
假設(shè)存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四邊形ACMB}=18，
即：

1

2

AB|y₀|=18，

1

2

×4×|y₀|=18，
∴y₀=±9；
當(dāng)y₀=9時(shí)，x²-2x-3=9，解得x=1-

13

，x=1+

13

；
當(dāng)y₀=-9時(shí)，x²-2x-3=-9，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
∴存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1-

13

，9），（1+

13

，9）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．