Question

【題目】解答題
（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE=45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題： 如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠FDC=90°．

∴∠B=∠FDC，

∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴GE=GF，

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．

（3）解：如圖3，過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A=∠B=90°，

又∵∠CGA=90°，AB=BC，

∴四邊形ABCG為正方形．

∴AG=BC．

∵∠DCE=45°，

根據(jù)（1）（2）可知，ED=BE+DG．

∴10=4+DG，

即DG=6．

設(shè)AB=x，則AE=x﹣4，AD=x﹣6，

在Rt△AED中，

∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．

解這個(gè)方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．

∴AB=12．

∴S梯形ABCD= （AD+BC）AB= ×（6+12）×12=108．

即梯形ABCD的面積為108．

【解析】（1）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；（2）首先延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，繼而可得GE=BE+GD；（3）首先過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長(zhǎng)，設(shè)AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2 ， 可得方程，解方程即可求得AB的長(zhǎng)，繼而求得直角梯形ABCD的面積．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．