Question

如圖，直線l經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=30°，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于另一點(diǎn)Q，如果QP=QO，則∠OCP=

 

．

Answer 1

分析：點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而點(diǎn)P與線段AO有三種位置關(guān)系，在線段AO上，點(diǎn)P在AO延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上．分這三種情況進(jìn)行討論即可．

解答：解：①根據(jù)題意，畫(huà)出圖（1），
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=30°，
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．

②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上（如圖2）
∵OC=OQ，
∴∠OQP=（180°-∠QOC）×

1

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×

1

2

②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得：
60°+∠QOC=∠OQP，
∵∠OQP=∠QCO，
∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，
∴∠QOC=20°，則∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③當(dāng)P在線段OA的反向延長(zhǎng)線上（如圖3），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×

1

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=（180°-∠OQP）×

1

2

②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④聯(lián)立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．
故答案為：40°、20°、100°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的認(rèn)識(shí)及等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，先假設(shè)存在并進(jìn)行分類討論是進(jìn)行解題的關(guān)鍵．