Question

已知，紙片⊙Ｏ的半徑為2 ，如圖1. 沿著弦AB 折疊操作。
（1）如圖2 ，當折疊后的經過圓心Ｏ時，求的長度；
（2）如圖3，當弦AB＝2時，求折疊后⊙O所在圓的圓心O′到弦AB的距離；
（3）在如圖1中，將紙片⊙O沿著弦CD折疊操作：    
①如圖4，當AB∥CE時，折疊后的和所在圓外切與點P時，設點O到弦CD，AB的距離之和為d，試求d的值；  
②如圖5，當AB與CD不平行時，折疊后的和所在圓外切與點P，點M，N分別為AB，CD的中點試探究四邊形OMPN的形狀，并證明。

Answer 1

解：（1）可以過點O作OE垂直于弦AB，并連接AE，BE，BO，AO， 由圖形的對稱性可知四邊形AEOB 為菱形，△AEO，△BEO均為等邊三角形，∠AOB=120°， ； （2）.折疊后的圓O′與圓O是等圓，設折疊后所在圓的圓心O，可過O′作AB的垂線段即為m， m=tan60°×1=； （3）可作AB垂線，交圓與點E，點G，且經過點P，EF必定垂直且平分AB，CD。GE=GP，HP=HF； 距離之和為d= （GE+GP+HP+HF）÷2=4÷2=2； （4）可設點K，點L分別是，所在圓的圓心，連接KL， ∵折疊后⊙K，⊙O，⊙L均是等圓 ∵點K與點O， 點L與點O是分別關于AB，CD的對稱點， ∴點M，點N分別是OK，OL的中點； 連心線KL必定經過外切點P；點M，N，P分別是△KOL三邊的中點， ∴MP=NO=OL， MP∥OL， ∴四邊形OMPN 為平行四邊形。

圖5 圖4