Question

（2012•鹽田區(qū)二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)P（2，

3

）為圓心的圓與y軸相切于點(diǎn)A，與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊）．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的

1

2

．如果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；如果若不存在，請說明理由；
（3）如果一個動點(diǎn)D自點(diǎn)P出發(fā)，先到達(dá)y軸上的某點(diǎn)，再到達(dá)x軸上某點(diǎn)，最后運(yùn)動到（1）中拋物線的頂點(diǎn)Q處，求使點(diǎn)D運(yùn)動的總路徑最短的路徑的長．

Answer 1

分析：（1）連接PA，PB，PC，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；
（2）因?yàn)椤鰽BP和△CBP的面積是菱形ABCP面積的

1

2

，故過點(diǎn)A、C作BP的平行線，與拋物線的交點(diǎn)即是滿足條件的點(diǎn)M．
（3）將原方程配方后得到拋物線的頂點(diǎn)Q（2，-

3

3

），然后作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'，則P’（-2，

3

）．連接P'Q，則P'Q是最短總路徑，根據(jù)勾股定理，可得P′Q=

8 3

3

．

解答：解：（1）連接PA，PB，PC，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，
∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)A，
∴PA⊥y軸，
∵P（2，

3

），
∴OG=AP=2，PG=OA=

3

，
∴PB=PC=2，
∴BG=1，
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴A（0，

3

），B（1，0），C（3，0），
根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）（x-3），
則(0-1)(0-3)a=

3

，
解得：a=

3

3

．
故二次函數(shù)的解析式為：y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

．

（2）∵點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)P（2，

3

），
∴BP的解析式為：y=

3

x-

3

；
則過點(diǎn)A平行于BP的直線解析式為：y=

3

x+

3

，過點(diǎn)C平行于BP的直線解析式為：y=

3

x-3

3

l₂，
從而可得①：

3

x+

3

=

3

3

x²-

4 3

3

x+

3

，
解得：x₁=0，x₂=7，
從而可得滿足題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，

3

）、（7，8

3

）；
②

3

x-3

3

=

3

3

x²-

4 3

3

x+

3

，
解得：x₁=3，x₂=4，
從而可得滿足題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3，0）、（4，

3

）
綜上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．

（3）∵y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=

3

3

(x2-4x+3)=

3

3

(x-2)2-

3

3

，
∴拋物線的頂點(diǎn)Q（2，-

3

3

）．
作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'，則P'（-2，

3

）．
連接P'Q，則P'Q是最短總路徑，根據(jù)勾股定理，可得P'Q=

8 3

3

．
．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱最短路徑、菱形的性質(zhì)，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)得出點(diǎn)M的尋找辦法，難度較大．