Question

【題目】定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點.

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=3，MN=4求BN的長；

（2）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖2所示，請在BC上畫一點D，使C，D是線段AB的勾股分割點（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）；

（3）如圖3，正方形ABCD中，M，N分別在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分別交BD于E，F(xiàn).

求證：①E、F是線段BD的勾股分割點；

②△AMN的面積是△AEF面積的兩倍．

Answer 1

【答案】（1）BN=或5；（2）圖形見解析；（3）①證明見解析，②證明見解析.

【解析】試題分析：（1）①當(dāng)MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；由BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可；

（2）①在AB上截取CE=CA，②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA，③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

（3）①如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，連接HE，只要證明△EAH≌△EAF，推出EF=HE，再證明∠HBE=90°即可；

②如圖，連接FM，EN，證明△AEN和△AFM是等腰直角三角形，推出AM、AN，根據(jù)三角形的面積和銳角三角函數(shù)求解即可.

試題解析：（1）解：（1）①當(dāng)MN為最大線段時，

∵點M，N是線段AB的勾股分割點，

∴BM===，

②當(dāng)BN為最大線段時，

∵點M，N是線段AB的勾股分割點，

∴BN===5，

綜上，BN=或5；

（2）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；

③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

點D即為所求；如圖2所示．

（3）①如圖3中，將△ADF繞點A順時針性質(zhì)90°得到△ABH，連接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

∵EA=EA，AH=AF，

∴△EAH≌△EAF，

∴EF=HE，

∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，

∴∠HBE=90°，

在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，

∵BH=DF，EF=HE，

∵EF2=BE2+DF2，

∴E、F是線段BD的勾股分割點．

②證明：如圖4中，連接FM，EN．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，

∴△AFE∽△DFN，

∴∠AEF=∠DNF， =，

∴=，∵∠AFD=∠EFN，

∴△AFD∽△EFN，

∴∠DAF=∠FEN，

∵∠DAF+∠DNF=90°，

∴∠AEF+∠FEN=90°，

∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形，

同理△AFM是等腰直角三角形；

∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，

∴AM=AF，AN=AE，

∵S△AMN=AMANsin45°，

S△AEF=AEAFsin45°，

∴==2，

∴S△AMN=2S△AEF．