Question

我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

（1）如圖甲，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0）A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；
（2）如圖乙，若C（1，2），那么在圖中所有格點中是否能找到一點D，使以CA、CB為勾股邊的四邊形ACBD是勾股四邊形．如果能找到，請寫出D點的坐標（不需要證明）；
（3）如圖丙，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，△ABD是等邊三角形，∠DCB=30°．求證：四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析：（1）根據勾股四邊形的定義以及四邊形是以OA、OB為勾股邊且對角線相等的四邊形，進而得出答案；
（2）利用勾股四邊形的定義得出符合要求的點即可；
（3）首先過點C作EC⊥DC于點C，使EC=BC，連接DE，BE，得出△BCE是等邊三角形，進而得出△ABC≌△DBE（SAS），即AC=ED，即可得出答案．

解答：（1）解：如圖所示：P，P′都是符合要求的點；

（2）解：如圖所示：
D（3，4），D′（4，4），D″（4，2）都是符合要求的點；

（3）證明：
如圖丙，過點C作EC⊥DC于點C，使EC=BC，連接DE，BE，
∵∠DCB=30°，
∴∠3=60°，
∵BC=EC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BC=BE=EC，∠2=60°，
∴∠ABD+∠1=∠2+∠1，
即∠DBE=∠ABC，
∵在△ABC和△DBE中

BD=AB ∠DBE=∠ABC BE=BC

∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC=ED，
在Rt△DCE中，
DC²+CE²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²，
即四邊形ABCD是勾股四邊形．

點評：此題主要考查了勾股定理的應用以及全等三角形的判定等知識，利用圖形結合新定義得出符合要求的點是解題關鍵，注意不要漏解．