Question

【題目】已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，D是AO延長線上一點，聯結BD并延長交⊙O于點E，聯結CD并延長交⊙O于點F.

（1）求證：BD＝CD：

（2）如果AB2＝AO·AD，求證：四邊形ABDC是菱形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）連接BC，根據垂直平分線的性質即可解答

（2）連接OB，先求出△ABO∽△ADB，再利用相似的性質，求出四邊形ABDC的四邊相等，即可解答

（1）連接BC，

在⊙O中，∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形

又∵AD經過圓心O，∴AD垂直平分BC ∴BD＝CD.

（2）連接OB.

∵AB2＝AO·AD，

又∵∠BAO＝∠DAB，

∴△ABO∽△ADB

∴∠OBA＝∠BDA

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB.

∴∠OAB＝∠BDA

∴AB＝BD.

又∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AB＝AC＝BD＝CD.

∴四邊形ABDC是菱形.