Question

如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E為AB的中點,

（1）求證：AC²＝AB•AD;
（2）求證：CE∥AD;
（3）若AD＝4,AB＝6,求的值．

Answer 1

（1）證明見解析;（2）證明見解析;（3）．

試題分析:（1）由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可證得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,證得AC²=AB•AD;
（2）由E為AB的中點,根據(jù)在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可證得CE=AB=AE,繼而可證得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;
（3）易證得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,求得的值．
試題解析:（1）證明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC²=AB•AD;
（2）證明:∵E為AB的中點,
∴CE=AB=AE,
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD;
（3）解:∵CE∥AD,
∴△AFD∽△CFE,
∴AD:CE=AF:CF,
∵CE=AB,
∴CE=×6=3,
∵AD=4,
∴,
∴．
考點:1.相似三角形的判定與性質(zhì),2.直角三角形斜邊上的中線．