【題目】如圖1,點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABCAB、BC上的動點,點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都為1cm/s.

(1)連接AQ、CP交于點M,則在P、Q運動的過程中,∠CMQ變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù);

(2)試求何時△PBQ是直角三角形?

(3)如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動,直線AQ、CP交點為M,則∠CMQ變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù).

【答案】(1)在P、Q運動的過程中,∠CMQ不變,∠CMQ=60°;(2)當t ss 時,△PBQ為直角三角形;(3)在P、Q運動的過程中,∠CMQ的大小不變,∠CMQ=120°.

【解析】試題分析:(1)利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA,則可求得∠BAQ=∠ACP,再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ=60°;

(2)可用t分別表示出BPBQ,分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°兩種情況,分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關于t的方程,則可求得t的值;

(3)同(1)可證得△PBC≌△QCA,再利用三角形外角的性質(zhì)可求得∠CMQ=120°.

試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,

AB=AC,B=PAC=60°,

∵點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,

AP=BQ,

在△APC和△BQA,

∴△APC≌△BQA(SAS),

∴∠BAQ=ACP,

∴∠CMQ=CAQ+∠ACP=BAQ+∠CAQ=BAC=60°,

∴在P、Q運動的過程中,∠CMQ不變,∠CMQ=60°;

(2)∵運動時間為ts,則AP=BQ=t,

PB=4﹣t,

當∠PQB=90°時,

∵∠B=60°,

PB=2BQ,

4﹣t=2t,解得t=

當∠BPQ=90°時,

∵∠B=60°,

BQ=2PB,

t=2(4﹣t),解得t=,

∴當t ss 時,△PBQ為直角三角形;

(3)在等邊三角形ABC中,AC=BC,ABC=BCA=60°,

∴∠PBC=QCA=120°,且BP=CQ,

在△PBC和△QCA,

∴△PBC≌△QCA(SAS),

∴∠BPC=MQC,

又∵∠PCB=MCQ,

∴∠CMQ=PBC=120°,

∴在P、Q運動的過程中,∠CMQ的大小不變,∠CMQ=120°.

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