如圖,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,如果點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為2cm/s,同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,速度為1cm/s,連接PQ,設運動的時間為t(單位:s)(0≤t≤5).解答下列問題:
(1)當t為何值時,△APQ是直角三角形?
(2)是否存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分?若存在求出此時t的值;若不存在,請說明理由;
(3)把△APQ沿AB(或沿AC)翻折,翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形能不能是菱形?若能,求出此時菱形的面積;若不能,請說明理由.
分析:(1)表示出AP、AQ,然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°兩種情況,利用∠A的余弦列式計算即可得解;
(2)先求出△ABC的面積,然后利用∠A的正弦求出點P到AQ的距離,再根據(jù)△APQ的面積公式列出方程,然后求出根的判別式△<0,確定不存在;
(3)根據(jù)菱形的對角相等,對角線平分一組對角可得關于AB翻折時,∠A=∠APQ,過點Q作QD⊥AB于D,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AD=
1
2
AP,然后利用∠A的余弦列式求出t的值,再根據(jù)正弦求出DQ,然后根據(jù)S菱形=2S△APQ計算即可得解;關于AC翻折時,∠A=∠AQP,過點P作PE⊥AC于E,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AE=
1
2
AQ,然后利用∠A的余弦列式求出t的值,再根據(jù)正弦求出PE,然后根據(jù)S菱形=2S△APQ計算即可得解.
解答:解:(1)∵點P的速度為2cm/s,點Q的速度為1cm/s,
∴AP=10-2t,AQ=t,
如圖1,∠AQP=90°時,cos∠A=
AQ
AP
=
AC
AB

t
10-2t
=
8
10
,
解得t=
40
13
,
如圖2,∠APQ=90°時,cos∠A=
AP
AQ
=
AC
AB
,
10-2t
t
=
8
10
,
解得t=
25
7
,
綜上所述,t=
40
13
25
7
時,△APQ是直角三角形;

(2)△ABC的面積=
1
2
AC•BC=
1
2
×8×6=24cm2
假設存在t使線段PQ恰好把△ABC的面積平分,
則點P到AQ的距離為:AP•sin∠A=(10-2t)×
6
10
=
3
5
(10-2t),
∴△APQ的面積=
1
2
t•
3
5
(10-2t)=
1
2
×24,
整理得,t2-5t+20=0,
∵△=(-5)2-4×1×20=25-80=-55<0,
∴此方程無解,
∴不存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分;

(3)根據(jù)菱形的性質,若關于AB翻折時,則∠A=∠APQ,
如圖1,過點Q作QD⊥AB于D,則AD=
1
2
AP=
1
2
(10-2t)=5-t,
cos∠A=
AD
AQ
=
AC
AB
,
5-t
t
=
8
10

解得t=
25
9
,
∴DQ=AQ•sin∠A=
25
9
×
6
10
=
5
3
,
AP=10-2t=10-2×
25
9
=
40
9
,
∴S菱形=2S△APQ=2×
1
2
×
40
9
×
5
3
=
200
27

若關于AC翻折時,則∠A=∠AQP,
如圖2,過點P作PE⊥AC于E,則AE=
1
2
AQ=
t
2

cos∠A=
AE
AP
=
AC
AB
,
t
2
10-2t
=
8
10
,
解得t=
80
21
,
∴PE=AP•sin∠A=(10-2×
80
21
)×
6
10
=
50
21
×
6
10
=
10
7
,
∴S菱形=2S△APQ=2×
1
2
×
80
21
×
10
7
=
800
147
;
綜上所述,△APQ沿AB(或沿AC)翻折,翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形能是菱形,
菱形的面積為
200
27
800
147
點評:本題是相似形綜合題型,主要考查了銳角三角函數(shù),三角形的面積,菱形的對角相等,對角線平分一組對角的性質,(1)(3)兩題難點在于要分情況討論求解,(2)利用根的判別式判斷即可,綜合題,但難度不大.
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求證:EF≥
12
BC.

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