【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AE⊥BD于E.
(1)若BC=BD,,AD=15,求△ABD的周長(zhǎng).
(2)若∠DBC=45°,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,F為AE上一點(diǎn),且AF=2EO,求證:CF=AB.
【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出AD=BD=15,然后設(shè)BE=x,則AB=x,DE=BD﹣BE=15﹣x,利用勾股定理建立方程求出x,即可求周長(zhǎng);
(2)延長(zhǎng)AE與BC交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)O作OG∥AE,分別交BC、CF于點(diǎn)G、H,連接EH,BF,并延長(zhǎng)BF,與AD交于點(diǎn)N,連接DF,DG,首先通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)OH是△ACF的中位線,再判定四邊形BGDN是正方形,最后證明△DNF≌△DGC即可得出結(jié)論.
(1)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,
∵BC=BD,
∴AD=BD=15,
∵,
設(shè)BE=x,則AB=x,DE=BD﹣BE=15﹣x,
∴AE===3x,AE2+DE2=AD2,
即:,
解得:x=3,
∴AB=3,
∴△ABD的周長(zhǎng)=AD+BD+AB=15+15+3=30+3;
(2)證明:延長(zhǎng)AE與BC交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)O作OG∥AE,分別交BC、CF于點(diǎn)G、H,連接EH,BF,并延長(zhǎng)BF,與AD交于點(diǎn)N,連接DF,DG,如圖所示:
∵AE⊥BD,
∴OG⊥BD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB=OD,OA=OC,AB=CD,
∴BG=DG,
∵∠DBC=45°,
∴∠BDG=45°,
∴∠BGD=90°,
∵OG∥AM,OA=OC,
∴OH是△ACF的中位線,
∴OH=AF=OE,HF=HC,
∴∠OEH=∠OHE=45°=∠OBC,
∴EH∥BC,
∴EF=ME,
∵BE⊥MF,
∴BF=BM,
∴∠MBE=∠EBF=45°,
∴∠DNB=∠NBG=90°,
∴四邊形BGDN是正方形,
∴DG=DN=BN=BG,
∴MG=FN,
∵AM∥OG,OA=OC,
∴MG=CG,
∴CG=FN,
在△DNF和△DGC中,
,
∴△DNF≌△DGC(SAS),
∴DF=DC,∠NDF=∠GDC,
∴∠FDC=∠NDG=90°,
∴CF=CD,
∴CF=AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AE=BD.將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<360°)得到△AB′E′,點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、E′.
(1)如圖1,當(dāng)α=30°時(shí),求證:B′C=DE;
(2)連接B′E、DE′,當(dāng)B′E=DE′時(shí),請(qǐng)用圖2求α的值;
(3)如圖3,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),點(diǎn)Q為線段B′E′上任意一點(diǎn),試探究,在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為推進(jìn)“全國(guó)億萬(wàn)學(xué)生陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)”的實(shí)施,組織廣大同學(xué)開(kāi)展健康向上的第二課堂活動(dòng).我市某中學(xué)準(zhǔn)備組建球類(lèi)社團(tuán)(足球、籃球、羽毛球、乒乓球)、舞蹈社團(tuán)、健美操社團(tuán)、武術(shù)社團(tuán),為了解在校學(xué)生對(duì)這4個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的喜愛(ài)情況,該校隨機(jī)抽取部分初中生進(jìn)行了“你最喜歡哪個(gè)社團(tuán)”調(diào)查,依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制成以下不完整的統(tǒng)計(jì)表,請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)求樣本容量及表格中、的值;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(3)被調(diào)查的60個(gè)喜歡球類(lèi)同學(xué)中有3人最喜歡足球,若該校有3000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校最喜歡足球的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】全面二孩政策于2016年1月1日正式實(shí)施,黔南州某中學(xué)對(duì)八年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查,其中一個(gè)問(wèn)題“你爸媽如果給你添一個(gè)弟弟(或妹妹),你的態(tài)度是什么?”共有如下四個(gè)選項(xiàng)(要求僅選擇一個(gè)選項(xiàng)):
A.非常愿意 B.愿意 C.不愿意 D.無(wú)所謂
如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答以下問(wèn)題:
(1)試問(wèn)本次問(wèn)卷調(diào)查一共調(diào)查了多少名學(xué)生?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該年級(jí)共有450名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)全年級(jí)可能有多少名學(xué)生支持(即態(tài)度為“非常愿意”和“愿意”)爸媽給自己添一個(gè)弟弟(或妹妹)?
(3)在年級(jí)活動(dòng)課上,老師決定從本次調(diào)查回答“不愿意”的同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)來(lái)談?wù)勊麄兊南敕,而本次調(diào)查回答“不愿意”的這些同學(xué)中只有一名男同學(xué),請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求選取到兩名同學(xué)中剛好有這位男同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)防教育和素質(zhì)拓展期間,某天小明和小亮分別從校園某條路的A,B兩端同時(shí)相向出發(fā),當(dāng)小明和小亮第一次相遇時(shí),小明覺(jué)得自己的速度太慢便決定提速至原速的倍,當(dāng)他到達(dá)B端后原地休息,小亮勻速到達(dá)A端后,立即按照原速返回B端(忽略掉頭時(shí)間).兩人相距的路程y(米)與小亮出發(fā)時(shí)間t(秒)之間的關(guān)系如圖所示,當(dāng)小明到達(dá)B端后,經(jīng)過(guò)_____秒,小亮回到B端.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】成都市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號(hào)召,研發(fā)了一種新產(chǎn)品.已知研發(fā)、生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的成本為30元/件,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如下圖:
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)為多少時(shí),該企業(yè)銷(xiāo)售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?(注:年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售量×(銷(xiāo)售單價(jià)﹣成本單價(jià)))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,是直徑,點(diǎn)是上一點(diǎn),點(diǎn)是弧的中點(diǎn),于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,分別交,于點(diǎn).連接,關(guān)于下列結(jié)論:① ;②;③點(diǎn)是的外心,其中正確結(jié)論是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點(diǎn),且AB=AE.
(1)求證:AC=ED;
(2)若AE平分∠DAB,∠EAC=25°,求∠AED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:若一個(gè)四邊形能被其中一條對(duì)角線分割成兩個(gè)相似三角形,則稱(chēng)這個(gè)四邊形為“友好四邊形”.
(1)如圖1,在的正方形網(wǎng)格中,有一個(gè)網(wǎng)格和兩個(gè)網(wǎng)格四邊形與,其中是被分割成的“友好四邊形”的是 ;
(2)如圖2,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,點(diǎn)落在邊,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),求證:四邊形是“友好四邊形”;
(3)如圖3,在中,,,的面積為,點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn),連接,.若四邊形是被分割成的“友好四邊形”,求的長(zhǎng).
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