Question

【題目】如圖①，直線CD上有一點O，過點O在直線CD上方作射線OP．將一直角三角尺AOB（∠AOB=90°）的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線CD上方．將直角三角板繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)．

(1)當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，OB恰好平分∠COP時，試證明：OA邊恰好平分∠POD.

(2)若射線OP的位置保持不變，且∠COP=50°．當(dāng)直角三角尺旋轉(zhuǎn)到邊AB與射線OC相交時則∠BOC與∠AOP有怎樣的數(shù)量關(guān)系?試畫出圖形，寫出數(shù)量關(guān)系，并寫出說理過程.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠BOC=∠BOP ，再根據(jù)余角的定義可得∠AOD=∠AOP，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）分情況討論：①當(dāng)OA在∠POD內(nèi)部或與OP重合,OB在CD下方時，②當(dāng)OA在∠POC內(nèi)部,OB在CD下方.

（1）∵OB恰好平分∠COP

∴∠BOC=∠BOP

又∵∠AOB＝90°

∴∠AOD＝180°－∠AOB－∠BOC

＝180°－90°－∠BOC＝90°－∠BOC

∠AOP＝∠AOB－∠BOP＝90°－∠BOP＝90°－∠BOC

∴∠AOD=∠AOP

∴OA平分∠POD

(2)①如圖，當(dāng)OA在∠POD內(nèi)部或與OP重合,OB在CD下方時，

∠AOP＋∠BOC＝40

理由：∵∠AOB＝90°,∠COP=50°

∴∠AOP＋∠BOC＝90°－∠POC＝40°．

即：∠AOP＋∠BOC＝40°

②如圖，當(dāng)OA在∠POC內(nèi)部,OB在CD下方時，

∠BOC－∠AOP＝40°

理由：∵∠AOC＝∠POC－∠AOP＝50°－∠AOP

∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC

∴50°－∠AOP＝90°－∠BOC

∴∠BOC－∠AOP＝40°

綜上所述，當(dāng)OA在∠POD內(nèi)部或與OP重合,OB在CD下方時，

∠AOP＋∠BOC＝40°；當(dāng)OA在∠POC內(nèi)部,OB在CD下方時，

∠BOC－∠AOP＝40°.