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【題目】如圖,在RtABC中,∠BAC90°,ADCD,點E是邊AC的中點,連接DE,DE的延長線與邊BC相交于點FAGBC,交DE于點G,連接AF、CG.

(1)求證:AFBF

(2)如果ABAC,求證:四邊形AFCG是正方形.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

1)根據線段垂直平分線的性質,可得AF=CF,再根據等角的余角相等可得∠B=BAF,所以AF=BF
2)由AAS可證AEG≌△CEF,所以AG=CF.由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCG是平行四邊形,進而證得四邊形AFCG是菱形,最后根據有一個角為直角的菱形是正方形得證四邊形AFCG是正方形.

證明 (1)ADCD,點E是邊AC的中點,

DEAC.

即得DE是線段AC的垂直平分線.

AFCF.

∴∠FAC=∠ACB.

RtABC中,由∠BAC90°

得∠B+∠ACB90°,∠FAC+∠BAF90°.

∴∠B=∠BAF.

AFBF.

(2)AGCF,

∴∠AGE=∠CFE.

又∵點E是邊AC的中點,

AECE.

AEGCEF中,

∴△AEG≌△CEF(AAS)

AGCF.

又∵AGCF,

∴四邊形AFCG是平行四邊形.

AFCF,

∴四邊形AFCG是菱形.

RtABC中,由AFCFAFBF,得BFCF.

即得點F是邊BC的中點.

又∵ABAC,

AFBC.即得∠AFC90°.

∴四邊形AFCG是正方形.

練習冊系列答案
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……

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